Rechner für Fakultät, Variation und Kombination

So funktioniert es

1. Wählen Sie, was Sie brauchen: n!, eine Variation A(n, p), eine Kombination C(n, p) oder die Anagramme eines Wortes.
2. Geben Sie die Zahlen ein — oder das Wort selbst, etwa BANANA — und das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen.
3. Die Zeilen unter dem Ergebnis zeigen genau, welche Fakultäten multipliziert und dividiert wurden. Es wird nichts irgendwohin gesendet.

Über dieses Tool

Eine Fakultät zählt die Möglichkeiten, Dinge in eine Reihe zu bringen: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 — fünf Bücher lassen sich also in 120 verschiedenen Reihenfolgen ins Regal stellen. Von dort teilt sich die Kombinatorik in zwei Zweige. Eine Variation — A(n, p), auch Permutation von p aus n Elementen genannt — zählt geordnete Auswahlen: A(5, 2) = 20 Möglichkeiten, unter fünf Läufern einen ersten und einen zweiten Platz zu vergeben. Eine Kombination — C(n, p) — zählt dieselben Auswahlen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt: C(10, 3) = 120 Möglichkeiten, aus zehn Personen einen Dreierausschuss zu bilden. Der einzige Unterschied zwischen beiden liegt darin, ob das Vertauschen zweier gewählter Elemente ein neues Ergebnis liefert.

Gerechnet wird mit BigInt, sodass die Ergebnisse exakte ganze Zahlen sind statt gerundeter Fließkommawerte. Das macht sich schnell bemerkbar: Eine gewöhnliche JavaScript-Zahl stellt Fakultäten nur bis 171! exakt dar und wird danach schlicht unendlich, während hier 100! vollständig mit allen 158 Ziffern ausgegeben wird. Auch Kombinationen werden nicht durch die Division dreier riesiger Fakultäten berechnet — das Tool multipliziert und dividiert Schritt für Schritt, hält die Zwischenwerte klein und landet trotzdem bei einer exakten ganzen Zahl. Für Permutationen mit Wiederholung können Sie statt Zahlen ein Wort eingeben: BANANA hat sechs Buchstaben, davon A dreimal und N zweimal, also ergibt sich 6! ÷ (3! × 2! × 1!) = 60 — denn das Vertauschen zweier gleicher Buchstaben erzeugt kein neues Anagramm.

Diese drei Formeln decken den größten Teil dessen ab, was Schule und Aufnahmeprüfungen zum Abzählen verlangen, und einen guten Teil der alltäglichen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Lottochancen sind eine Kombination: 6 aus 60 Zahlen ergeben C(60, 6) mögliche Tippreihen. Ein Blatt aus fünf Karten eines 52er-Decks ist C(52, 5) = 2.598.960. Podestplätze, Sitzordnungen, Passwortstärke und die Zahl möglicher Dienstpläne sind Variationen. Anagrammzahlen tauchen in Wortspielen und in Wahrscheinlichkeitsaufgaben zu wiederholten Buchstaben auf. Alles wird in JavaScript auf Ihrem Gerät berechnet — die eingegebenen Zahlen werden nie an einen Server gesendet, gespeichert oder protokolliert.

Die Formel

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, mit 0! = 1. Variationen: A(n, p) = n! ÷ (n − p)!. Kombinationen: C(n, p) = n! ÷ (p! × (n − p)!). Permutationen mit Wiederholung: P(n; a, b, …) = n! ÷ (a! × b! × …), wobei a, b, … angeben, wie oft jedes wiederholte Element vorkommt.

Häufig gestellte Fragen