Verwandeln Sie einen Bruch in eine Dezimalzahl — samt Periode — und jede Dezimalzahl zurück in einen exakten Bruch.
Jeder Bruch aus ganzen Zahlen wird entweder zu einer Dezimalzahl, die abbricht, oder zu einer, die sich endlos wiederholt — eine dritte Möglichkeit gibt es nicht. Welche der beiden es wird, hängt allein vom Nenner des gekürzten Bruchs ab: Besteht er ausschließlich aus den Primzahlen 2 und 5, endet die Division, wie bei 3/8 = 0,375; alles andere wiederholt sich, wie bei 1/3 = 0,333… und 1/6 = 0,1666…. Dieses Tool führt die schriftliche Division Ziffer für Ziffer aus und beobachtet dabei die Reste. Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftaucht, müssen sich die Ziffern von dort an wiederholen, und der Block zwischen den beiden Vorkommen ist die Periode. So wird 1/7 als 0,142857… mit sechsstelliger Periode ausgegeben.
Die andere Richtung nutzt die Bruchdarstellung — den klassischen Trick, zwei verschobene Kopien derselben Zahl voneinander abzuziehen. Nennen Sie den Wert x. Multipliziert man mit einer Zehnerpotenz, die groß genug ist, um genau eine volle Periode über das Komma zu schieben, entsteht eine zweite Zahl mit exakt demselben unendlichen Schwanz — die Subtraktion beider hebt diesen Schwanz vollständig auf und lässt ganze Zahlen zurück. Für 0,1666… heißt das 100x = 16,666… und 10x = 1,666…, also 90x = 15 und x = 15/90 = 1/6. Allgemein wird die Differenz zweier Ziffernfolgen durch (10^m − 1) × 10^k geteilt, wobei m die Länge der Periode und k die Anzahl der Ziffern davor ist. Gerechnet wird mit BigInt, damit auch lange Dezimalzahlen exakt bleiben; anschließend wird das Ergebnis über seinen ggT gekürzt.
Das Umrechnen in beide Richtungen hilft immer dann, wenn eine Zahl ihr Gewand wechseln muss. Als Zollbrüche notierte Maße werden für die Tabellenkalkulation zu Dezimalzahlen; eine vom Taschenrechner abgelesene periodische Dezimalzahl wird zu dem sauberen Bruch, den ein Beweis oder eine Prüfungsantwort erwartet. Auch die Periodenschreibweise ist wichtig, denn 0,333… und 0,3 sind nicht dieselbe Zahl — 0,(3) beseitigt die Mehrdeutigkeit. Das Tool akzeptiert Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen, kommt mit negativen Werten zurecht, arbeitet mit Nennern bis 1.000.000 und erledigt alles in JavaScript auf Ihrem Gerät — nichts von dem, was Sie eingeben, wird irgendwohin gesendet.
Bruch in Dezimalzahl: schriftliche Division unter Beobachtung der Reste — wiederholt sich ein Rest, wiederholen sich von dort an auch die Ziffern, und der Block zwischen den beiden Vorkommen ist die Periode. Dezimalzahl in Bruch (Bruchdarstellung): Für einen Wert mit k nicht periodischen Nachkommastellen und einer Periode von m Ziffern gilt x = (D − P) ÷ ((10^m − 1) × 10^k), wobei D alle Ziffern bis zum Ende der ersten Periode und P alle Ziffern vor der Periode sind. Ohne Periode gilt x = Ziffern ÷ 10^k. Das Ergebnis wird anschließend über seinen ggT gekürzt.
Kürzen Sie ihn zuerst und sehen Sie sich dann den Nenner an: Hat er einen anderen Primfaktor als 2 oder 5, ist die Dezimalzahl periodisch. 3/8 bricht ab, weil 8 gleich 2³ ist, während 1/6 periodisch ist, weil in 6 eine 3 steckt.
Es ist der exakte Bruch, der eine gegebene periodische Dezimalzahl erzeugt. Jede periodische Dezimalzahl hat einen — deshalb sind periodische Dezimalzahlen rationale Zahlen: 0,333… ist 1/3 und 0,1666… ist 1/6.
Geben Sie den nicht periodischen Teil in das Dezimalfeld ein und die sich wiederholenden Ziffern in das zweite Feld. 0,1 mit Periode 6 bedeutet 0,1666…, und 0 mit Periode 3 bedeutet 0,333….
Ja, und das Tool zeigt, warum: Bei der Periode 9 ergibt die Bruchdarstellung 9/9, also genau 1. Es sind zwei Schreibweisen derselben Zahl, nicht zwei Zahlen, die einander nur nahekommen.
Nein. Sowohl die schriftliche Division als auch die Bruchdarstellung werden in JavaScript auf Ihrem Gerät berechnet, ohne Anfragen an einen Server.
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