Transformez une fraction en nombre décimal — période comprise — et tout décimal en fraction exacte.
Toute fraction de nombres entiers devient soit un décimal qui s'arrête, soit un décimal qui se répète à l'infini — il n'y a pas de troisième possibilité. Le cas obtenu dépend uniquement du dénominateur une fois la fraction réduite : s'il ne contient que les nombres premiers 2 et 5, la division s'arrête, comme dans 3/8 = 0,375 ; sinon elle se répète, comme dans 1/3 = 0,333… et 1/6 = 0,1666…. Cet outil pose la division chiffre par chiffre et surveille les restes. Dès qu'un reste apparaît une seconde fois, les chiffres qui suivent sont forcément appelés à se répéter, et le bloc compris entre les deux occurrences est la période. C'est ainsi que 1/7 est donné comme 0,142857… avec une période de six chiffres.
Le sens inverse repose sur la fraction génératrice, l'astuce classique consistant à soustraire deux copies décalées du même nombre. Appelons cette valeur x. La multiplier par une puissance de dix assez grande pour faire passer une période entière avant la virgule donne un second nombre dont la queue infinie est exactement la même : la soustraction des deux annule donc complètement cette queue et ne laisse que des entiers. Pour 0,1666… cela s'écrit 100x = 16,666… et 10x = 1,666…, d'où 90x = 15 et x = 15/90 = 1/6. La forme générale divise la différence de deux suites de chiffres par (10^m − 1) × 10^k, où m est la longueur de la période et k le nombre de chiffres qui la précèdent. Les calculs sont menés en BigInt pour que les décimaux longs restent exacts, et le résultat est ensuite réduit par son PGCD.
Convertir dans les deux sens est utile chaque fois qu'un nombre doit changer de costume. Des mesures écrites en fractions de pouce deviennent des décimaux pour un tableur ; un décimal périodique relevé sur une calculatrice devient la fraction nette qu'attend une démonstration ou une copie d'examen. La notation de la période compte aussi, car 0,333… et 0,3 ne sont pas le même nombre, et écrire 0,(3) lève l'ambiguïté. L'outil accepte la virgule comme le point en séparateur décimal, gère les valeurs négatives, fonctionne avec des dénominateurs jusqu'à 1 000 000 et fait tout en JavaScript sur votre appareil — rien de ce que vous saisissez n'est envoyé ailleurs.
Fraction vers décimal : division posée en surveillant les restes — lorsqu'un reste se répète, les chiffres qui suivent se répètent à l'infini, et le bloc compris entre les deux occurrences est la période. Décimal vers fraction (fraction génératrice) : pour une valeur ayant k décimales non périodiques et une période de m chiffres, x = (D − P) ÷ ((10^m − 1) × 10^k), où D regroupe tous les chiffres jusqu'à la fin de la première période et P tous les chiffres qui précèdent la période. Sans période, x = chiffres ÷ 10^k. Le résultat est ensuite réduit par son PGCD.
Réduisez-la d'abord, puis regardez le dénominateur : s'il a un facteur premier autre que 2 ou 5, le décimal est périodique. 3/8 se termine parce que 8 vaut 2³, tandis que 1/6 se répète parce que 6 contient un 3.
C'est la fraction exacte qui produit un décimal périodique donné. Tout décimal périodique en possède une, et c'est pourquoi les décimaux périodiques sont des nombres rationnels : 0,333… vaut 1/3 et 0,1666… vaut 1/6.
Saisissez la partie qui ne se répète pas dans le champ décimal et les chiffres périodiques dans le second champ. Saisir 0,1 avec la période 6 signifie 0,1666…, et saisir 0 avec la période 3 signifie 0,333….
Oui, et l'outil montre pourquoi : avec une période de 9, la fraction génératrice donne 9/9, c'est-à-dire exactement 1. Ce sont deux façons d'écrire le même nombre, et non deux nombres simplement proches.
Non. La division posée comme la fraction génératrice sont calculées en JavaScript sur votre appareil, sans aucune requête vers un serveur.
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