Verifique se um número é primo, decomponha-o em fatores primos, liste todos os primos até N e encontre o próximo.
Um número primo tem exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo. Isso faz dos primos os tijolos da aritmética: todo número inteiro acima de 1 é um produto de primos de uma única maneira, que é o que afirma o teorema fundamental da aritmética. 360 é 2³ × 3² × 5 e nada mais; 91 parece primo, mas na verdade é 7 × 13; 97 é primo de verdade. Uma vez conhecida a fatoração, outros fatos vêm de graça — o número de divisores é o produto de cada expoente mais um, então 360 tem (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 deles.
A verificação de primalidade aqui é feita por divisão sucessiva, mas só até a raiz quadrada do número e só contra candidatos da forma 6k ± 1, já que todo o resto é múltiplo de 2 ou de 3. Isso pula dois terços do trabalho e resolve um número abaixo de um trilhão em algumas centenas de milhares de divisões, um par de milissegundos. Acima de 10¹² até isso fica lento num navegador, então a resposta passa a vir do teste determinístico de Miller-Rabin com as bases de 2 a 37, comprovadamente exato para todo número abaixo de 3,3×10²⁴ e, portanto, para tudo o que esta ferramenta aceita, até 2⁵³ − 1. Listar primos usa outro clássico: o crivo de Eratóstenes escreve todos os números até N, mantém o menor não marcado, risca todos os múltiplos dele e repete até sobrarem apenas primos.
A fatoração em primos é a máquina por trás de simplificar frações, achar um MMC ou um MDC e simplificar raízes quadradas, e é por isso que ela é ensinada cedo. Fora da escola, a dificuldade de fatorar números grandes é a base da criptografia RSA: multiplicar dois primos grandes é instantâneo, desfazer isso não é, e a distância entre as duas coisas é todo o argumento de segurança. Os primos também rareiam de forma previsível conforme os números crescem, embora nunca acabem — Euclides provou isso há mais de dois mil anos. Números até 2⁵³ − 1 podem ser testados aqui, a fatoração e os primos vizinhos vão até um trilhão, e a lista de primos vai até 100.000. Nada do que você digita sai do seu navegador.
Primalidade por divisão sucessiva: n é primo quando nenhum número inteiro de 2 até √n o divide, e basta testar 2, 3 e depois todo candidato da forma 6k ± 1. A fatoração aplica as mesmas divisões e registra quantas vezes cada primo cabe; o número de divisores é o produto de cada expoente mais um. A lista de primos usa o crivo de Eratóstenes. Acima de 10^12 a resposta de primalidade vem do teste determinístico de Miller-Rabin com bases de 2 a 37, exato para todo número abaixo de 2^53.
Tente dividi-lo por todo primo até a raiz quadrada dele: se nenhum o dividir exatamente, o número é primo. Para 97 a raiz quadrada é menor que 10, então testar 2, 3, 5 e 7 já resolve.
Não. Um primo precisa ter exatamente dois divisores distintos, e o 1 tem apenas um. Excluí-lo também é o que torna a fatoração em primos única, já que, do contrário, qualquer número poderia ser recheado com quantos 1 você quisesse.
Ela é a base para simplificar frações, calcular o MDC e o MMC, simplificar raízes quadradas e contar divisores. Escrever 360 como 2³ × 3² × 5 já entrega seus 24 divisores e tudo o que ele tem em comum com outro número.
Até 9.007.199.254.740.991 — isto é, 2⁵³ − 1 — na verificação de primalidade. A fatoração e os primos vizinhos vão até 1.000.000.000.000, e a lista de primos até 100.000, para que toda resposta continue instantânea no navegador.
Porque todo outro número par é divisível por 2, o que lhe dá um terceiro divisor e o desqualifica. É também por isso que a ferramenta pula os candidatos pares depois de testar o 2.
Não. As divisões, o crivo e o teste de Miller-Rabin rodam todos em JavaScript no seu dispositivo, sem nenhuma requisição a servidor e sem armazenar nada.
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