Berechnen Sie Standardabweichung und Varianz für Stichprobe und Grundgesamtheit, mit allen Rechenschritten.
Die Standardabweichung beantwortet eine Frage, die der Mittelwert nicht beantworten kann: Wie weit streuen die Werte? Zwei Klassen können beide im Schnitt 7 von 10 Punkten haben — eine, in der fast alle 7 schrieben, und eine, in der die Hälfte 4 und die Hälfte 10 schrieb. Der Mittelwert verbirgt diesen Unterschied; die Standardabweichung legt ihn offen. Die Varianz ist dasselbe Maß vor dem Ziehen der Wurzel, was die Einheiten quadriert lässt — deshalb ist es meist die Standardabweichung, die genannt wird.
Gerechnet wird in der Reihenfolge, in der man es von Hand täte, und jeder Schritt wird gezeigt: der Mittelwert, dann die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert, dann jede Abweichung quadriert und aufsummiert, dann die Division und die Wurzel. Das Tool berechnet immer beide Varianten. Diese Summe durch n − 1 zu teilen ergibt die Standardabweichung der Stichprobe (s); die Division durch n ergibt die der Grundgesamtheit (σ). Für die Menge 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 beträgt der Wert für die Grundgesamtheit genau 2 und der für die Stichprobe etwa 2,14 — dieselben Daten, zwei berechtigte Antworten auf zwei verschiedene Fragen.
Die Trennlinie ist einfach: Nehmen Sie n − 1, wenn Ihre Zahlen eine Stichprobe einer größeren Gruppe sind, die Sie nicht vollständig erfasst haben — was bei Umfragen, Qualitätskontrolle und Experimenten fast immer der Fall ist — und n nur dann, wenn Sie wirklich jedes Element der Grundgesamtheit gemessen haben, etwa die Noten aller 30 Schülerinnen und Schüler einer bestimmten Klasse. Das Tool meldet außerdem den Variationskoeffizienten, die Standardabweichung in Prozent des Mittelwerts, mit dem sich die Streuung von Datensätzen mit verschiedenen Einheiten vergleichen lässt. Alles läuft lokal in Ihrem Browser.
Stichprobe: s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ) · Grundgesamtheit: σ = √( Σ(x − x̄)² ÷ n ) · Die Varianz ist derselbe Ausdruck ohne Wurzel · Variationskoeffizient = (Standardabweichung ÷ Mittelwert) × 100.
Nehmen Sie die Formel für die Stichprobe (n − 1), außer Sie haben jedes Element der Gruppe gemessen. Stichproben sind der Normalfall, weshalb n − 1 hier und in der Funktion STABW von Tabellenkalkulationen die Voreinstellung ist.
Weil der Mittelwert der Stichprobe immer etwas näher an der Stichprobe liegt als der echte Mittelwert der Grundgesamtheit, wodurch die Abweichungen zu klein ausfallen. Die Division durch n − 1, bekannt als Bessel-Korrektur, gleicht diese Verzerrung aus.
Das hängt ganz von der Skala ab. Fünf Punkte in einer Prüfung von 0 bis 10 sind enorm; fünf Real bei einem Preis von 5.000 R$ sind vernachlässigbar. Genau für diesen Vergleich gibt es den Variationskoeffizienten, denn er drückt die Streuung in Prozent des Mittelwerts aus.
Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen und wird daher in quadrierten Einheiten gemessen. Die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel, die die Zahl in die ursprünglichen Einheiten zurückholt und lesbar macht.
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