जाँचें कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, उसे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें, N तक की सारी अभाज्य संख्याएँ देखें और अगली अभाज्य ढूँढें।
अभाज्य संख्या के ठीक दो भाजक होते हैं, 1 और वह ख़ुद। इसी से अभाज्य संख्याएँ अंकगणित की बुनियादी ईंटें बन जाती हैं: 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या ठीक एक ही तरीक़े से अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होती है — अंकगणित का मूल प्रमेय यही कहता है। 360 = 2³ × 3² × 5 है और इसके अलावा कुछ नहीं; 91 अभाज्य लगता है पर असल में 7 × 13 है; 97 सचमुच अभाज्य है। एक बार गुणनखंडन पता चल जाए तो बाक़ी बातें मुफ़्त में मिल जाती हैं — भाजकों की संख्या हर घातांक में एक जोड़कर गुणा करने से मिलती है, इसलिए 360 के (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 भाजक हैं।
यहाँ अभाज्यता की जाँच भाग-परीक्षण से होती है, पर सिर्फ़ संख्या के वर्गमूल तक और सिर्फ़ 6k ± 1 रूप के उम्मीदवारों के ख़िलाफ़, क्योंकि बाक़ी सब पहले से 2 या 3 के गुणज हैं। इससे दो-तिहाई काम बच जाता है और एक खरब से छोटी संख्या कुछ लाख भागों में, यानी दो-तीन मिलीसेकंड में तय हो जाती है। 10¹² से ऊपर ब्राउज़र में यह भी धीमा पड़ जाता है, इसलिए उत्तर 2 से 37 तक के आधारों वाले निर्धारक Miller-Rabin परीक्षण से आता है, जो 3.3×10²⁴ से छोटी हर संख्या के लिए प्रमाणित रूप से सटीक है — यानी इस टूल की 2⁵³ − 1 तक की पूरी सीमा के लिए। अभाज्य संख्याओं की सूची एक और क्लासिक विधि से बनती है: एराटोस्थनीज़ की छलनी N तक की सारी संख्याएँ लिखती है, सबसे छोटी बिना निशान वाली संख्या रखती है, उसके सारे गुणज काट देती है, और यही दोहराती है जब तक सिर्फ़ अभाज्य बच जाएँ।
अभाज्य गुणनखंडन ही वह मशीनरी है जो भिन्नों को सरल करने, LCM या GCD निकालने और वर्गमूल सरल करने के पीछे काम करती है, इसीलिए यह जल्दी पढ़ाया जाता है। स्कूल से आगे, बड़ी संख्याओं के गुणनखंडन की कठिनाई पर ही RSA एन्क्रिप्शन टिका है: दो बड़ी अभाज्य संख्याओं को गुणा करना पल भर का काम है, उसे उलटना नहीं, और इन दोनों के बीच का फ़ासला ही पूरी सुरक्षा का तर्क है। संख्याएँ बढ़ने के साथ अभाज्य संख्याएँ अनुमान के मुताबिक़ विरल होती जाती हैं, पर ख़त्म कभी नहीं होतीं — यूक्लिड ने दो हज़ार साल पहले यह सिद्ध कर दिया था। यहाँ 2⁵³ − 1 तक की संख्याओं की जाँच हो सकती है, गुणनखंडन और पड़ोसी अभाज्य एक खरब तक चलते हैं, और अभाज्य सूची 100,000 तक जाती है। आपकी लिखी कोई चीज़ ब्राउज़र से बाहर नहीं जाती।
भाग-परीक्षण से अभाज्यता: n तब अभाज्य है जब 2 से √n तक की कोई पूर्ण संख्या उसे न बाँटे, और सिर्फ़ 2, 3 और उसके बाद 6k ± 1 रूप के उम्मीदवार जाँचना काफ़ी है। गुणनखंडन उन्हीं भागों को लगाता है और दर्ज करता है कि हर अभाज्य कितनी बार बैठती है; भाजकों की संख्या हर घातांक में एक जोड़कर गुणा करने से मिलती है। अभाज्य सूची एराटोस्थनीज़ की छलनी से बनती है। 10^12 से ऊपर अभाज्यता का उत्तर 2 से 37 तक के आधारों वाले निर्धारक Miller-Rabin परीक्षण से आता है, जो 2^53 से छोटी हर संख्या के लिए सटीक है।
उसे उसके वर्गमूल तक की हर अभाज्य से भाग देकर देखें: अगर कोई भी उसे पूरा-पूरा नहीं बाँटती, तो संख्या अभाज्य है। 97 का वर्गमूल 10 से कम है, इसलिए 2, 3, 5 और 7 जाँच लेना काफ़ी है।
नहीं। अभाज्य के ठीक दो अलग भाजक होने चाहिए, और 1 का सिर्फ़ एक है। उसे बाहर रखने से ही अभाज्य गुणनखंडन अनोखा बनता है, वरना किसी भी संख्या में जितने चाहें 1 जोड़े जा सकते थे।
यह भिन्नों को सरल करने, GCD और LCM निकालने, वर्गमूल सरल करने और भाजक गिनने का आधार है। 360 को 2³ × 3² × 5 लिखते ही उसके 24 भाजक और किसी दूसरी संख्या के साथ उसकी हर साझी बात सामने आ जाती है।
अभाज्यता जाँच के लिए 9,007,199,254,740,991 तक — यानी 2⁵³ − 1। गुणनखंडन और पड़ोसी अभाज्य 1,000,000,000,000 तक जाते हैं और अभाज्य सूची 100,000 तक, ताकि हर उत्तर ब्राउज़र में तुरंत मिले।
क्योंकि बाक़ी हर सम संख्या 2 से विभाज्य है, जिससे उसे तीसरा भाजक मिल जाता है और वह अयोग्य हो जाती है। इसीलिए टूल 2 जाँचने के बाद सम उम्मीदवार छोड़ देता है।
नहीं। भाग, छलनी और Miller-Rabin परीक्षण — सब आपके डिवाइस पर JavaScript में चलते हैं, किसी सर्वर पर कोई अनुरोध नहीं जाता और कुछ भी संग्रहीत नहीं होता।
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