Calculateur de PPCM et PGCD

Comment utiliser

1. Saisissez deux entiers ou plus, séparés par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne.
2. Le PPCM et le PGCD s'affichent immédiatement, avec les divisions euclidiennes et la multiplication qui les ont produits.
3. Utilisez la ligne de décomposition en facteurs premiers comme vérification — c'est la méthode enseignée à l'école, présentée à côté de la méthode rapide.

À propos de cet outil

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui divise exactement tous les nombres donnés. Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre que tous divisent exactement. PGCD(48, 36) vaut 12, car 12 est le plus grand nombre qui entre dans les deux ; PPCM(4, 6, 8) vaut 24, le premier nombre que chacun d'eux atteint. Ce sont les deux extrémités d'une même idée, reliées par une identité simple : pour tout couple, a × b = PGCD × PPCM.

Au lieu d'énumérer les multiples jusqu'à trouver une correspondance, ce calculateur utilise l'algorithme d'Euclide, vieux de plus de deux mille ans et toujours le moyen le plus rapide de procéder à la main : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et on recommence jusqu'à un reste nul — le dernier reste non nul est le PGCD. Le PPCM découle ensuite de a × b ÷ PGCD. Pour les listes de plus de deux nombres, les deux s'appliquent deux à deux, en reportant le résultat courant, et chaque division est affichée afin que vous puissiez recopier le raisonnement dans votre devoir. La décomposition en facteurs premiers de chaque nombre est présentée à côté, à titre de référence, puisque c'est la méthode que la plupart des manuels enseignent en premier.

Hors de la salle de classe, ces deux nombres apparaissent dès que des cycles doivent coïncider ou que des quantités doivent être réparties équitablement. Le PPCM donne le dénominateur commun pour additionner des fractions, le moment où deux engrenages reviennent à la même position, ou l'instant où deux tâches lancées toutes les 12 et toutes les 18 minutes se retrouvent. Le PGCD indique la plus grande portion identique en laquelle vous pouvez découper un ensemble, ou réduit une fraction à sa forme irréductible. L'outil accepte les entiers de 1 à 1 000 000 000 et s'exécute entièrement dans votre navigateur.

La formule

Algorithme d'Euclide : pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b), répété jusqu'à un reste nul. PPCM(a, b) = a × b ÷ pgcd(a, b). Pour les listes plus longues, les deux s'appliquent deux à deux : pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c), et de même pour le PPCM.

Questions fréquentes