Berechnen Sie den z-Wert und das entsprechende Perzentil aus einem Wert, dem Mittelwert und der Standardabweichung.
Der z-Wert misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert einer Verteilung entfernt liegt. Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht; +1 bedeutet eine Standardabweichung darüber; −2 bedeutet zwei darunter. In einer Normalverteilung entspricht der z-Wert direkt einem Perzentil: z = 0 ist das 50. Perzentil, z = +1 ist etwa das 84., z = −1 ist etwa das 16., und z = ±2 umfasst etwa 95% der Daten.
Die Formel ist einfach: z = (x − μ) / σ. Das Perzentil ist die Fläche unter der Standardnormalkurve links von diesem z-Wert, hier berechnet mit einer Annäherung, die im gesamten Bereich auf fünf Dezimalstellen genau ist. Diese Annäherung — die Abramowitz-und-Stegun-Formel — verwendet die komplementäre Fehlerfunktion und macht eine z-Tabelle überflüssig, was genau der Zweck dieses Tools ist.
Typische Anwendungen: Überprüfen, ob ein Testergebnis relativ zur Klasse über oder unter dem Durchschnitt liegt, bestimmen, wie ungewöhnlich eine Messung in einem Qualitätskontrollprozess ist, und Umrechnung zwischen Rohwerten und Perzentilen bei Bildungstests. Der z-Wert ist nur aussagekräftig, wenn die zugrunde liegende Verteilung annähernd normal ist — bei schiefen oder multimodalen Daten gilt die Perzentil-Interpretation nicht.
z = (x − μ) / σ. Perzentil = Φ(z) × 100, wobei Φ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.
Es gibt keinen universell guten oder schlechten z-Wert — es hängt vom Kontext ab. In vielen Anwendungen gelten Werte innerhalb von ±2 als normal, und jenseits von ±3 als Ausreisser.
Ja — ein negativer z-Wert bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. z = −1,5 bedeutet 1,5 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt.
Die z-Wert-Formel funktioniert weiterhin (es ist reine Arithmetik), aber die Perzentil-Interpretation setzt Normalverteilung voraus. Bei nicht normalverteilten Daten kann das tatsächliche Perzentil erheblich abweichen.
Ja — es berechnet die kumulative Wahrscheinlichkeit direkt, anstatt sie in einer Tabelle nachzuschlagen. Das Ergebnis ist präziser als eine auf zwei Dezimalstellen gerundete Tabelle.
Nein. Die Berechnung läuft in JavaScript auf Ihrem Gerät.
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